Sign-systems (S-systems)

Instances

   [1]:     -  +
   [2]:     -- ++                        (nested from [1])
            -+ +-
   [3]:     --- +++                      (nested from [1])
            --+ -+- +-- ++- +-+ -++
   [4]:     ---- ++++                    (nested from [1])
            ---+ --+- -+-- +--- +++- ++-+ +-++ -+++
            --++ -++- +--+ ++--
            -+-+ +-+-                    (nested from [2])

Classes

    k=1:
           level g-numbers  classes transpositions instances
                                         all instances v  w   m  neutral
     -         1       0,1        2    1       2
 -------------------------------------------------------------------
                                           2       1  0   1   0
    k=2:
     --        2       0,3        2    1       2
     -+        0       1          1    2       2
 -------------------------------------------------------------------
                                           4       1  1   2   1
    k=3:
     ---       3       0,7        2    1       2
     --+       1       1,3        2    3       6
 -------------------------------------------------------------------
                                           8       1  1   2   0
    k=4:
     ----      4       0,15       2    1       2
     ---+      2       1,7        2    4       8
     --++      0       3          1    4       4
     -+-+      0       5          1    2       2
 -------------------------------------------------------------------
                                          16       2  2   4   2
    k=5:
     -----     5       0,31       2    1       2
     ----+     3       1,15       2    5      10
     ---++     1       3,7        2    5      10
     --+-+     1       5,11       2    5      10
 -------------------------------------------------------------------
                                          32       3  1   4   0
     k=6:
     ------    6       0,63       2    1       2
     -----+    4       1,31       2    6      12
     ----++    2       3,15       2    6      12
     ---+-+    2       5,23       2    6      12
     --+--+    2       9,27       2    3       6
     ---+++    0       7          1    6       6
     --+-++    0       11,13      2    6      12
     -+-+-+    0       21         1    2       2
 -------------------------------------------------------------------
                                          64       5  3   8   4
     k=7:
     -------   7       0,127      2    1       2
     ------+   5       1,63       2    7      14
     -----++   3       3,31       2    7      14
     ----+-+   3       5,47       2    7      14
     ---+--+   3       9,55       2    7      14
     ----+++   1       7,15       2    7      14
     ---+-++   1      11,29       2    7      14
     ---++-+   1      13,23       2    7      14
     --+--++   1      19,27       2    7      14
     --+-+-+   1      21,43       2    7      14
 -------------------------------------------------------------------
                                         128       9  1  10   0
     k=8:
     --------  8       0,255      2    1       2
     -------+  6       1,127      2    8      16
     ------++  4       3,63       2    8      16
     -----+-+  4       5,95       2    8      16
     ----+--+  4       9,111      2    8      16
     ---+---+  4      17,119      2    4       8
     -----+++  2       7,31       2    8      16
     ----+-++  2      11,61       2    8      16
     ----++-+  2      13,47       2    8      16
     ---+--++  2      19,59       2    8      16
     ---+-+-+  2      21,87       2    8      16
     ---++--+  2      25,55       2    8      16
     --+--+-+  2      37,91       2    8      16
     ----++++  0      15          1    8       8
     ---+-+++  0      23, 29      2    8      16
     ---++-++  0      27, 39      2    8      16
     --+-+-++  0      43,53       2    8      16
     --+-++-+  0      45          1    8       8
     --++--++  0      51          1    4       4
     -+-+-+-+  0      85          1    2       2
 -------------------------------------------------------------------
                                          256      16  4  20  7

Natural classes

Natural classes of S-systems

         level difference             natural classes
    k=1:                        ( marked with P )
     -        1    *                   -
    k=2:
     --       2    *                   -
     -+       0    1                   P
    k=3:
     ---      3    *                   -
     --+      1    1,2                 P
    k=4:
     ----     4    *                   -
     ---+     2    1,2,4               P
     --++     0    3,3,3               -
     -+-+     0    5                   -
    k=5:
     -----    5    *                   -
     ----+    3    1,2,4,8             P
     ---++    1    3,6,5,7             -
     --+-+    1    2,8,1,4             P
     k=6:
     ------   6    *                   -
     -----+   4    1,2,4,8,16          P
     ----++   2    3,6,12,9,15         -
     ---+-+   2    5,7,3,14,6          -
     --+--+   2    9,18                -
     ---+++   0    7,14,7,14,7         -
     --+-++   0    11,3,12,7,6         -
     -+-+-+   0    21
     k=7:
     -------  7    *                   -
     ------+  5    1,2,4,8,16,32       P
     -----++  3    3,6,12,24,17,31     -
     ----+-+  3    5,10,13,7,26,14     -
     ---+--+  3    8,1,16,2,32,4       P
     ----+++  1    7,14,28,11,30,15    -
     ---+-++  1    11,22,5,20,19,10    -
     ---++-+  1    13,9,17,18,11,23    -
     --+--++  1    6,13,12,23,3,24     -
     --+-+-+  1    16,4,1,32,8,2       P

Enumeration

    k              1  2  3  4  5  6  7  8
 --------------------------------------------
   all             1  2  2  4  4  8 10 20
   self            1  1  1  2  3  5  9 16
   nested          0  1  1  2  1  3  1  4
   neutral         0  1  0  2  0  4  0  7

Schematic algebra